Frequency and Power Spectrum

The signal is fully described by its time course. In signal theory, we talk about the representation of a signal in the 'time domain (although the meaning of "time" can be e.g. distance). In a number of tasks, however, it is much more advantageous to represent the signal in the ``frequency domain''. The essence of the representation of the signal in the frequency domain is the expression of the signal understood as a function of time as the sum of a series of appropriately selected periodic functions. In practice, the use of trigonometric functions, i.e. sine and cosine functions, has paid off the most.

Fourierova transformace
Předpokládejme, že x(t) je signál spojitý se základní frekvencí f. Pro další úvahy je vhodné použít kruhovou frekvenci &omega;=2&pi;f (viz analogie s otáčivým pohybem). Takový signál pak lze rozložit na součet fázově posunutých sinusovek o frekvencích f, 2f, 3f, atd. Zapsáno matematicky, signál x(t) a se základní frekvencí &omega; lze napsat následujícím způsobem:
 * $$x(t)=\sum_{n=1}^{+\infty} A_n \sin(n \omega t + \varphi_n)$$

Poznamenejme, že rovnost neplatí obecně. Suma na pravé straně rovnice se označuje jako Fourierova řada. Matematický postup, kterým se naleznou koeficienty An a &phi;n, se nazývá Fourierova transformace. Tvar jen se siny není příliš pohodlný pro další výpočty, naštěstí lze použít známý součtový vzorec:
 * $$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$

Tím pádem lze Fourierovu řadu psát i následujícím způsobem:
 * $$x(t)=\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \cos(n \omega t) + b_n \sin(n \omega t)$$

Kde za koeficienty Fourierovy řady (tedy za výsledek Fourierovy transformace) je pokládána řada dvojic (an,bn). Z nepříliš složité matematické teorie v pozadí Fourierovy transformace plyne, že je výhodné někdy Fourierovu řadu zapisovat jako řadu komplexních čísel zn, pro která platí následující vztah:
 * $$z_n = a_n + jb_n = A_n e^{-j\varphi_n}$$

Poznamenejme, že komplexní jednotka může být značena i i j, první značení používají matematici a fyzici, druhé technici.

Význam při studiu lineárních systémů
Rozklad signálu na harmonické složky má velký význam u lineárních systémů. Lineární systémy se totiž vyznačují tím, že odezva na součet dvou signálů je vlastně součtem odezvy na jednotlivé tyto signály. Odezva na harmonický signál se přitom vyšetřuje po matematické stránce poměrně snadno.

Zajímá-li nás tedy odezva lineárního systému na libovolný signál, stačí vyšetřit odezvu postupně po jednotlivých složkách Fourierovy řady a výsledek sečíst. Jedním z důsledků je to, že ve výstupu y(t) lineárního systému, který je buzen nějakým signálem x(t), se nemohou objevit jiné frekvence, než jaké jsou obsaženy v signálu x(t).

Frekvenční spektrum
Frekvenční spektrum signálu není nic jiného, než řada prvků zn popsaných výše. Protože jde o komplexní čísla, není znázornění posloupnosti v rovině snadné. Obvykle se používá amplitudové a fázové spektrum. Informaci o signálu nesou obě spektra společně, jedno bez druhého neobsahuje plnou infromaci.

Amplitudové spektrum
Amplitudové spektrum je posloupností amplitud An, pro které platí následující vztah s koeficienty an a bn:
 * $$ A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$$

Fázové spektrum
Fázové spektrum je posloupností amplitud &phi;n, pro které platí následující vztah s koeficienty an a bn:
 * $$ \varphi_n = \mathrm{arctg}\,\frac{b_n}{a_n}$$

Výkonové spektrum signálu
Výkonové spekturm (Power Spectrum v anglicky psané literatuře a v některých oblastech již zdomácnělý anglicismus) vychází z historických elektrotechnických kořenů analýzy signálů. Je vlastně odpovědí na otázku, jaký (tepelný) výkon by měla daná frekvenční složka signálu chápaného jako elektrické napětí u(t) na jednotkovém rezistoru. Odpověď je velmi snadná, pro okamžitý výkon signálu platí:
 * $$p(t)=\frac{u^2}{R}$$

Protože předpokladem je R=1, lze tento symbol vypustit. Pro výkon nesený n-tou složkou tedy bude platit:
 * $$p_n(t)=u_n^2(t)$$

Hodnota un(t) je ale již harmonická, protože platí:
 * $$u_n(t)=A_n\sin (n\omega t + \varphi_n))$$

lze snadno ukázat, že (střední) výkon nesený n-tou složkou bude mít tvar:
 * $$P_n = A_n^2$$

Od prostého amplitudového spektra se liší matematicky tím, že je vlastně druhou mocninou amplitudového spektra. Fakticky jde o významný rozdíl, výkonové spektrum informuje o energetických poměrech. Příklad biosignálu v časové a frekvenční doméně je na následujícím obrázku. V levé polovině je časový průběh vzorku lidského hlasu v časové doméně, v pravé polovině je tentýž vzorek ve frekvenční doméně:

700px||Vzorek lidského hlasu v časové a frekvenční doméně