Electrical impedance/NMgr

Elektrická impedance je rozšířením pojmu elektrický odpor na situace, kdy prostředím prochází střídavý elektrický proud. Nejjednodušším pohledem na impedanci je ten, že se jedná o odpor kladený střídavému proudu. Jednotkou impedance je Ohm &Omega;, obvykle se značí písmenem Z. Je-li impedance připojena k napětí U a protéká-li jí proud I, je její hodnota dána Ohmovým zákonem:
 * $$Z=\frac{U}{I}$$

Impedance elektrických prvků
Základními elektrickými prvky jsou rezistor , kapacitor (kondenzátor) a induktor (cívka). Základní vlastností rezistoru je elektrický odpor, základní vlastností kapacitoru(kondenzátoru) je kapacita a základní vlastností induktoru(cívky) je indukce. Jde pochopitelně o idealizované modely, pro zdůraznění tohoto faktu se používají tyto termíny a nikoliv technické názvy odpor, kondenzátor a cívka.

Při výpočtu impedancí se obvykle nepoužívá frekvence f, ale kruhová frekvecne &omega; určená vztahem:
 * $$\omega = 2\pi\cdot f$$

Impedance rezistoru
Impedance samotného rezistoru se nazývá rezistance, značí se R. Hodnota rezistance nezávisí na frekvenci.

Impedance kapacitoru
Impedance kapacitoru se nazývá kapacitance, značí se obvykle XC. Kapacitance je nepřímo úměrná kapacitě C kapacitoru a nepřímo úměrná frekvenci f přiloženého napětí:
 * $$X_C = \frac{1}{\omega C}$$

Impedance induktoru
Impedance induktoru se nazývá induktance, značí se obvykle XL. Induktance je přímo úměrná indukčnosti L induktoru a přímo úměrná frekvenci f proudu protékajícího induktorem:
 * $$X_L = \omega L$$

Impedance sériového zapojení rezistoru a kapacitoru
Impedance nelze zcela snadno sčítat, pro impedanci Z sériového zapojení rezistoru R a kapacitoru C platí:
 * $$Z = \sqrt{R^2 - \frac{1}{(\omega C)^2}}$$

Impedance paralelního zapojení rezistoru a kapacitoru
Vztah pro impedanci Z paralelního zapojení rezistoru a kapacitoru má poměrně složitý tvar, stojí však za pozornost, protože paralelní zapojení rezistoru a kapacitoru je často používaným modelem impedance tkáně:
 * $$Z = \frac{\sqrt{R^2 + \omega^2C^2R^4} }{\omega^2C^2R^2 + 1}$$

Komplexní vyjádření impedance
Výše uvedené vztahy lze vyjádřit velmi elegantně pomocí komplexních čísel. Pro spojování impedancí pak platí vztahy známé pro spojování stejnosměrných odporů. Pro odlišení komplexní impedance od absolutní hodnoty impedance se komplexní impedance označuje stříškou: $$\hat{Z}$$

Komplexní čísla
náhled|150px|Znázornění komplexního čísla v Gaussově rovině Komplexní čísla jsou mimořádně užitečnou matematickou konstrukcí. Představme si kvadratickou rovnici:
 * $$x^2 + x + 1 = 0$$

Podle vztahů pro výpočet kořenů kvadratické rovnice zjistíme, že její kořeny jsou definovány vztahem:
 * $$x_{1,2}=\frac{-1}{2} \pm\frac{\sqrt{-3}}{2}$$

Na střední škole se obvykle učí, že odmocnina ze záporného čísla nelze vypočítat, tedy že takováto rovnice nemá řešení. Výraz lze upravit tak, aby v něm figurovala pouze odmocnina z mínus jedné:
 * $$x_{1,2}=\frac{-1}{2} \pm\sqrt{-1}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Podobně lze upravit vztah pro řešení každé kvadratické rovnice, která má záporný diskriminant. Zavádí se symbol komplexní jednotka i (v elektrotechnice a v teorii signálů se obvykle používá symbol j, aby se důsledně odlišil od elektrického proudu) definovaná vztahem:
 * $$i:=\sqrt{-1}$$

Komplexní jednotka má jednu velmi zajímavou vlastnost:
 * $$i^2 = \left(\sqrt{-1}\right)^2 = -1$$

Řešení rovnice pak lze psát ve tvaru:
 * $$x_{1}=\frac{-1}{2}+ i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$
 * $$x_{2}=\frac{-1}{2} - i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Čísla x1 a x2 jsou komplexními čísly. Ta jejich část, která není násobkem komplexní jednotky, se nazývá reálná část komplexního čísla, ta jejich část, která je násobkem komplexní jednotky, se nazývá imaginární část komplexního čísla.

Na komplexní čísla se lze dívat i jinak, jde o součet dvou reálných čísel, z nichž jedno z nich je vynásobeno komplexní jednotkou. Součet lze považovat za formální, protože ryze reálné a ryze imaginární číslo nelze přímo sečíst. Tím se dostáváme k abstraktnějšímu pohledu na komplexní čísla jako na dvojici reálných čísel s nějakým způsobem definovanými operacemi sčítání, násobení a dělení. Obecně se takové komplexní číslo z v algebraickém tvaru zapíše jako:
 * $$z = a + i\cdot b$$

, kde a a b jsou reálná čísla.

Když už máme dvojici čísel, můžeme ji pokládat za bod v rovině. Taková rovina se skutečně používá, nazývá se Gaussova rovina komplexních čísel. Na každé komplexní číslo se pak můžeme dívat jako na vektor v rovině začínající v počátku, jehož první souřadnicí je reálná část a druhou souřadnicí je imaginární část. Vektor v rovině lze však vyjádřit i pomocí absolutní hodnoty a úhlu &phi;, který svírá s kladným směrem vodorovné osy. K takovémuto vyjádření se používají dva ekvivalentní zápisy.

Goniometrický tvar komplexního čísla z:
 * $$z=|z|\cdot\left(\cos\varphi + i\cdot\sin\varphi\right)$$

a exponenciální tvar komplexního čísla z:
 * $$z=|z|\cdot e^{ i\cdot\varphi }$$

Hodnoty jsou navzájem snadno převoditelné, pro číslo z=a+ib platí zejména:
 * $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Pro počítání s komplexními čísly platí jednoduchá pravidla:
 * $$(a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)$$
 * $$(a+ib) \cdot (c+id) = ac + ibc + iad + i^2bd = (ac - bd) + i(bc + ad)$$

Fázory
Prochází-li induktorem resp. kapacitorem harmonický elektrický proud, dochází mezi napětím a proudem k fázovému posunu, tj. napětí a proud dosahují svého maxima v různých okamžicích. Fázový posun může být jen 0-360°, takže se přímo nabízí využít k popisu tohoto děje komplexních čísel. Jednu z hodnot napětí nebo proud zvolíme za výchozí, tedy její fáze bude nulová, u druhé pak uvedeme fázový posuv včetně znaménka. Komplexně zapsané hodnoty se obvykle označují jako fázory a v zápise se nad nimi dělá stříška: $$\hat{U}$$, $$\hat{I}$$ a $$\hat{Z}$$. I ve fázorech (ve fázorovém prostoru) platí Ohmův zákon, ovšem je třeba dbát toho, že početní úkony jsou prováděny s komplexními čísly:
 * $$\hat{Z}=\frac{\hat{U}}{\hat{I}}$$

Komplexní rezistance
Na rezistanci nedochází k fázovému posunu mezi napětím a proudem, tedy i fázový posuv komplexní rezistance bude nulový:
 * $$\hat{R} = R$$

Komplexní kapacitance
Na komplexní kapacitanci se napětí spožďuje o 90° za proudem, komplexní kapacitance tedy bude mít fázi -90°. Ve složkovém tvaru to znamená, že komplexní kapacitance bude ryze imaginární se záporným znaménkem:
 * $$\hat{X}_C = -i\cdot\frac{1}{\omega C}$$

Komplexní induktance
Na komplexní induktanci napětí předbíhá o 90° proud, komplexní induktance bude mít tedy fázi 90°. Ve složkovém tvaru to znamená, že komplexní kapacitance bude ryze imaginární s kladným znaménkem:
 * $$\hat{X}_L = i\cdot {\omega L}$$

Komplexní impedance sériového zapojení rezistoru a kapacitoru
Sériové zapojení impedancí znamená, že se impedance sčítají, tvar je tedy jednoduchý:
 * $$\hat{Z} = \hat{R} + \hat{X}_C = R -i\cdot\frac{1}{\omega C} $$

Komplexní impedance paralelního zapojení rezistoru a kapacitoru
Paralelní zapojení impedancí vede ke složitějšímu tvaru:
 * $$\hat{Z} = \frac{\hat{R}\cdot\hat{X}_C}{\hat{R}+\hat{X}_C}$$

Po dosatení a úpravách má komplexní impedance následující tvar:
 * $$\hat{Z} = \frac{R}{\omega^2C^2R^2 + 1} - i\cdot\frac{\omega C R^2}{\omega^2C^2R^2 + 1}$$

Fázorový diagram
náhled|200px|Fázorový diagram impedance s reálnou a kladnou imaginární složkou. Fázorový diagram je grafickým znázorněním impedance při jedné jediné frekvenci. Nejde o nic jiného, než o zakreslení komplexní impedance jako vektoru v rovině, který má jako x-ovou souřadnici reálnou část impedance a jako y-ovou souřadnici má imaginární část impedance. Fázorový diagram umožňuje snadno provádět např. grafické sčítání impedancí nebo velmi názorně hodnotit fázové poměry.

Impedanční spektrum
náhled|300px|Ukázka tří amplitudových impedančních spekter. Při měření impedance je poměrně často znát závislost impedance na frekvenci, protože v jeho tvaru se může ukrývat hledaná informace např. hydrataci tkáně nebo o podílu tuku.

Matematicky je vlastně impedanční spektrum komplexní funkcí:
 * $$\hat{Z} = \hat{Z}(\omega)$$

Jisným technickým problémem je grafické znázornění, protože bodem takovéhoto grafu je dvojice reálného a komplexního čísla. Existuje několik způsobů, jak se s tímto vyrovnat.

Reálné a imaginární spektrum
Impedanci lze napsat jakou součet dvou reálných čísel - rezistance R a reaktance X, zle v případě frekvenční závislosti postupovat analogicky i pro impedanční spektrum a napsat impedanci jako součet dvou reálných funkcí:
 * $$\hat{Z}(\omega) = R(\omega) + i\cdot X(\omega)$$

Protože R(&omega;) i X(&omega;) jsou reálné funkce, lze jejich graf snadno vykreslit. Spektrum R(&omega;) se nazývá reálné impedanční spektrum, spektrum X(&omega;) se nazývá imaginární impedanční spektrum. Tato spektra se v praxi používají jen poměrně málo, protože vizuálně je z nich zřejmých méně informací než z dalších modifikací.

Amplitudové a fázové spektrum
Aplitudové a fázové spektrum vychází z exponenciálního resp. goniometrického tvaru komplexního čísla:
 * $$\hat{Z}(\omega) = Z(\omega) \cdot e^{-i\varphi(\omega)}$$

Reálná funkce Z(&omega;) se nazývá amplitudové impedanční spektrum, reálná funkce &phi;(&omega;) se nazývá fázové impedanční spektrum. Amplitudové spektrum lze snadno interpretovat jako celkovou impedanci na konkrétních frekvencích, fázové spektrum pak doplňuje informaci o tom, k jakému fázovému posunu mezi napětím a proudem dojde.

Někdy se používá výkonové spektrum, jehož název je odvozen od zpracování napěťových signálů. Ve výkonovém spektru je zobrazována frekvenční závislost druhé mocniny amplitudy.

Frekvenční charakteristika
náhled|300px|Frekvenční charakteristika (Nyquistův graf) paralelního spojení rezistoru a kapacitoru, tedy nejjednoduššího modelu pasivních elektrických vlastností organismu. Frekvenční charakteristika je dvojrozměrný graf, v němž na vodorovnou osu vynášíme reálnou složku impedance a na svislou osu imaginární složku impedance. V případě obecné teorie systému se graf nazývá Nyquistův graf. V případě bioimpedanční analýzy se obvykle vynáší záporně vzatá imaginární složka a hovoří se o Cole-Cole diagramu.

Cole-Cole diagram je znázornění frekvenční závislosti komplexní permitivity na frekvenci. Pojmenován je po biofyzicích bratrech K.S. a R.H. Coleových, kteří jej ve 30. letech použili při studiu komplexní impedance tkání.

Související články

 * Vedení elektrického proudu tělem
 * Měření proudu
 * Měření odporu
 * Měření napětí